06 | 动力学 ¶

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（Dynamics）描述了执行器的驱动扭矩与机械臂运动之间的关系。

主要讲解牛顿 - 欧拉迭代动力学方程和拉格朗日动力学方程。

前置知识 ¶

叉乘运算 ¶

叉乘 \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\) 是向量运算，结果为一个向量，遵循以下规则：

基本法则：
- 反交换律：\(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -\mathbf{b} \times \mathbf{a}\)
- 分配律：\(\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}\)
- 标量兼容性：\(\lambda (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = (\lambda \mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times (\lambda \mathbf{b})\)
几何意义：
- 模长：\(|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta\),\(\theta\) 为两向量夹角，对应以 \(\mathbf{a}, \mathbf{b}\) 为邻边的平行四边形面积。
- 方向：垂直于 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 所在平面，遵循右手定则（四指从 \(\mathbf{a}\) 转向 \(\mathbf{b}\)，拇指方向为结果方向）。
混合运算：
- 混合积：\((\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c}\) 表示平行六面体体积，满足轮换对称性：\((\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) \cdot \mathbf{a} = (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) \cdot \mathbf{b}\)
- 拉格朗日公式：\(\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\)

力矩：\(\tau = r \times F\)

分析力学基础 ¶

拉格朗日力学
- 达朗贝尔原理
- 拉格朗日方程；拉格朗日关系
哈密顿力学
- 哈密顿原理

从零学分析力学（拉格朗日力学篇） - 知乎

牛顿力学又称为矢量力学，基于相对性原理和伽利略变换。但是在描述复杂系统（如单摆）的时候，比较复杂。所以使用广义坐标来描述系统的状态。

广义坐标：不是特定坐标，描述力学系统状态即可；

力学系统所受理想约束力所做的虚功为 0

达朗贝尔原理：拉格朗日力学中的第二个基本原理 ¶

\[ \sum_{i=1}^{n} (\vec{F}_i - m_i \ddot{\vec{r}}_i) \cdot \delta \vec{r}_i = 0 \]

没有约束的情况下，\(\delta \vec{r}_i\) 相互独立，所以前面系数为 0，即牛顿第二定律

拉格朗日方程：描述物体运动的方程 ¶

地位如同牛顿第二定律

\(\delta\) 与 \(d\) 运算规则基本相同
消去的一个思路：利用广义坐标相互独立，所以系数为 0
另一个思路：矢量的化简比较复杂，标量化简较为简单

拉格朗日函数：\(L = T-U\) 只在保守系下成立，\(T\) 为动能，\(U\) 为势能

\[ Q_a = \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_a} \right) - \frac{\partial T}{\partial q_a} = 0 \]

T: 动能 ,\(q_a\) 广义坐标，\(\dot{q}_a\) 广义速度，\(Q_a\) 广义力 , 广义动量 \(P_{\alpha} = \frac{\partial T}{\partial \dot{q_\alpha}}\)

\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_a} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_a} = 0 \]

保守体系下，完整系统的拉格朗日方程

泛函求极值；欧拉方程 ¶

欧拉 - 拉格朗日方程

\[ \frac{d}{dx}\left( \frac{\partial F}{\partial \dot{y}} \right) - \frac{\partial F}{\partial y} = 0 \]

欧拉方程是泛函求极值的一个条件，形式和保守体系下的拉格朗日方程类似。

所以隐含着：物体的运动对应着某个量取极值

哈密顿原理 ¶

系统的运动是使作用量 \(S\) 取得极值的运动，也就是说物理系统倾向于选择更省力、更节能的方式来运动

\[ Energy = K + U = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2} m_i \dot{r}_i^2 + \sum_{i=1}^{n} m_i g h_i \]

Hamiltonian：哈密顿量，系统的总能量

\(H = K+U\)

\[ H = \frac{P^2}{2ml^2} - mgl \cos(\theta) \]

满足两个一阶微分方程

\[ \dot{q} = \frac{\partial H}{\partial P}, \dot{P} = -\frac{\partial H}{\partial q} \]

把运动化到了 face space 上面；知道了任意一点的位置和动量，就可以知道它的运动轨迹；

Solutions to the Problem Sheet: Lagrangian and Hamiltonian Mechanics in Under 20 Minutes — Physics with Elliot

惯性张量 ¶

参考资料：转动惯量、惯性张量、转动动能的推导 - 知乎机器人动力学建模之理解惯性张量-CSDN博客

转动惯量 ¶

引入力矩后，将一个物体看做由无数个质点组成，该物体在绕着某个轴转动时，除了轴处的质点，其余质点以到轴的距离为半径做圆周运动。为了更方便地研究转动，还需要定义出一些描述转动的物理量，如角位移，角速度，角加速度，可以理解为转动的位移，转动的快慢和转动状态变化的快慢，与描述平动的物理量对应。

从牛顿定律出发，可以推导出一个结论，物体转动的加速度——角加速度，与该物体受到的合力矩成正比（听起来很像牛顿第二定律对吧），比例系数是个与物体本身的质量，和物体质量相对于转轴分布情况有关的量。这就是转动惯量。转动惯量与质量对应，描述物体转动时的惯性。受到相同的力矩，转动惯量越大的物体，角加速度越小。

惯性张量 ¶

转动惯量是绕着某个轴的，而惯性张量是绕着某个点的。

绕着 x、y、z 三个轴转动惯量恰好就是惯性张量的三个对角元素 \(I_{xx}, I_{yy}, I_{zz}\)( 称为惯性矩 )

非对角元素称为惯性积

与其他物理量的联系 ¶

迭代动力学方程 ¶

外推法 ¶

物理量	公式
角速度	\(^{i+1}\omega_{i+1} = {}^{i+1}_i R \cdot {}^i \omega_i\)
角加速度	\(^{i+1}\dot{\omega}_{i+1} = {}^{i+1}_i R \cdot {}^i \dot{\omega}_i\)
加速度	\(^{i+1}\dot{v}_{i+1} = {}^{i+1}_i R \left[ {}^i \dot{\omega}_i \times O_{i+1} + {}^i \omega_i \times \left( {}^i \omega_i \times ^iO_{i+1} \right) + {}^i \dot{v_i} \right] + 2 \cdot {}^{i+1} \omega_{i+1} \times \dot{d}_{i+1} ^{i+1} \hat{Z}_{i+1} \ + \ \ddot{d}_{i+1}\cdot {}^{i+1} \hat{Z}_{i+1}\)
质心加速度	\(^{i+1}\dot{v}_{C_{i+1}} = {}^{i+1}_i \dot{\omega}_{i+1} \times {}^{i+1} P_{C_{i+1}} + {}^{i+1} \omega_{i+1} \times \left( {}^{i+1} \omega_{i+1} \times {}^{i+1} P_{C_{i+1}} \right) + {}^{i+1} \dot{v}_{i+1}\)
力	\(^{i+1} F_{i+1} = m_{i+1} \cdot {}^{i+1}_i \dot{v}_{C_{i+1}}\)
力矩	\(^{i+1}N_{i+1} = {}^{C_{i+1}} I_{i+1} \cdot {}^{i+1}\dot{\omega}_{i+1} + {}^{i+1} \omega_{i+1} \times{}^{C_{i+1}} I_{i+1} \cdot {}^{i+1} \omega_{i+1}\)

转动

物理量	公式
角速度	\(^{i+1}\omega_{i+1} ={}^{i+1}_i R \cdot {}^i \omega_i + \dot{\theta}_{i+1} \cdot {}^{i+1} \hat{Z}_{i+1}\)
角加速度	\(^{i+1}\dot{\omega}_{i+1} ={}^{i+1}_i R \cdot {}^i \dot{\omega}_i + {}^{i+1}_i R \cdot {}^i \omega_i \times \dot{\theta}_{i+1} \cdot {}^{i+1} \hat{Z}_{i+1} + \ddot{\theta}_{i+1} \cdot {}^{i+1} \hat{Z}_{i+1}\)
加速度	\(^{i+1}\dot{v}_{i+1} ={}^{i+1}_i R \left[ {}^i \dot{\omega}_i \times O_{i+1} + {}^i \omega_i \times \left( {}^i \omega_i \times {}^iO_{i+1} \right) + {}^i \dot{v_i} \right]\)
质心加速度	\(^{i+1}\dot{v}_{C_{i+1}} ={}^{i+1}_i \dot{\omega}_{i+1} \times {}^{i+1} P_{C_{i+1}} + {}^{i+1} \omega_{i+1} \times \left( {}^{i+1} \omega_{i+1} \times {}^{i+1} P_{C_{i+1}} \right) + {}^{i+1} \dot{v}_{i+1}\)
力	\(^{i+1} F_{i+1} =m_{i+1} \cdot {}^{i+1}_i \dot{v}_{C_{i+1}}\)
力矩	\(^{i+1}N_{i+1} ={}^{C_{i+1}} I_{i+1} \cdot {}^{i+1}\dot{\omega}_{i+1} + {}^{i+1} \omega_{i+1} \times{}^{C_{i+1}} I_{i+1} \cdot {}^{i+1} \omega_{i+1}\)

注意事项

角速度初始值： \({}^0 \omega_0 = (0,0,0)^T\)
角加速度初始值： \({}^0 \dot{\omega}_0 = (0,0,0)^T\)
加速度初始值（含重力）： \({}^0 v_0 = (0, g, 0)^T\)

内推法 ¶

连杆力 \({}^i f_i = {}_{i+1}^i R {}^{i+1} f_{i+1} + {}^i F_i\)

连杆力矩 \({}^i n_i = {}^i N_i + {}_{i+1}^i R {}^{i+1} n_{i+1} + {}^i P_{C_i} \times {}^i F_i + {}^i O_{i+1} \times {}_{i+1}^i R {}^{i+1} f_{i+1}\)

关节力 / 力矩

转动：\(\tau_i = {}^i n_i^T \cdot{}^i \hat{Z}_i\)
平动：\(\tau_i= {}^i f_i^T \cdot {}^i \hat{Z}_i\)

拉格朗日动力学方程 ¶

计算方法：¶

首先计算雅可比矩阵、旋转矩阵、惯性张量
计算 \(\boldsymbol{M}(\boldsymbol{\Phi})\), \(\boldsymbol{C}(\boldsymbol{\Phi},\dot{\boldsymbol{\Phi}})\) 和 \(\boldsymbol{G}(\boldsymbol{\Phi})\)
带入公式，求解动力学方程

\[ \boldsymbol{M}(\boldsymbol{\Phi})\ddot{\boldsymbol{\Phi}}+\boldsymbol{C}(\boldsymbol{\Phi},\dot{\boldsymbol{\Phi}})\dot{\boldsymbol{\Phi}}+\boldsymbol{B}\dot{\boldsymbol{\Phi}}+\boldsymbol{G}(\boldsymbol{\Phi})=\boldsymbol{\tau} \]

每一项的计算方法如下：

\(\boldsymbol{M}(\boldsymbol{\Phi})=\sum_{i=1}^{N}(m_{i}(\boldsymbol{J}_{P}^{(i)})^{\mathrm{T}}\boldsymbol{J}_{P}^{(i)}+(\boldsymbol{J}_{0}^{(i)})^{\mathrm{T}0}\boldsymbol{R}^{C_{i}}\boldsymbol{I}_{ii}^{0}\boldsymbol{R}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{J}_{0}^{(i)})\)
\(\boldsymbol{C}(\boldsymbol{\Phi},\dot{\boldsymbol{\Phi}})= \left.\left(\begin{array}{ccccccc}\sum_{k}c_{k11}\dot{\phi}_{k}&\sum_{k}c_{k21}\dot{\phi}_{k}&\cdots&\sum_{k}c_{kj1}\dot{\phi}_{k}&\cdots&\sum_{k}c_{kN1}\dot{\phi}_{k}\\\sum_{k}c_{k12}\dot{\phi}_{k}&\sum_{k}c_{k22}\dot{\phi}_{k}&\cdots&\sum_{k}c_{kj2}\dot{\phi}_{k}&\cdots&\sum_{k}c_{kN2}\dot{\phi}_{k}\\\vdots&\vdots&&\vdots&&\vdots\\\sum_{k}c_{k11}\dot{\phi}_{k}&\sum_{k}c_{k21}\dot{\phi}_{k}&\cdots&\sum_{k}c_{kj1}\dot{\phi}_{k}&\cdots&\sum_{k}c_{kNi}\dot{\phi}_{k}\\\vdots&\vdots&&\vdots&&\vdots\\\sum_{k}c_{k1N}\dot{\phi}_{k}&\sum_{k}c_{k2N}\dot{\phi}_{k}&\cdots&\sum_{k}c_{kjN}\dot{\phi}_{k}&\cdots&\sum_{k}c_{kNN}\dot{\phi}_{k}\end{array}\right.\right)\)
\(c_{jki}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial m_{ik}}{\partial\phi_{j}}+\frac{\partial m_{ij}}{\partial\phi_{k}}-\frac{\partial m_{kj}}{\partial\phi_{i}}\right)=c_{kji}\)
\(G(\boldsymbol{\Phi})=\binom{g_1(\boldsymbol{\Phi})}{g_N(\boldsymbol{\Phi})}\), 其中 \(g_i(\boldsymbol{\Phi})=\frac{\partial u}{\partial\phi_i}=-\sum_{j=1}^Nm_j^0g^\mathrm{T} \frac{\partial^0\boldsymbol{P}_{C_j}}{\partial\phi_i}\)
\(B=\mathrm{diag}(\begin{array}{ccc}b_1&\cdots&b_N\end{array})\),\(b_i\) 为折算到关节 \(i\) 的粘性摩擦参数 (Viscous Friction Coefficient)

性质 ¶

\(\dot{\boldsymbol{M}}(\boldsymbol{\Phi})-2\boldsymbol{C}(\boldsymbol{\Phi},\dot{\boldsymbol{\Phi}})\) 是反对称的