正运动学 - 已知角度求末端位姿 ¶

本章的正运动学问题，就是将关节空间转化到笛卡尔空间当中去。

我们的目的就是获取机械臂末端相对于机械臂基座的位姿，首先要建立起连杆之间的变换关系，这里比较重要的搞明白连杆坐标系的建立以及变换（先建立，再变换）

连体坐标系建立 ¶

我觉得下面这一篇博文图片和解释比较清楚，这里要着重区别一下连杆转角和关节角

机械臂运动学基础 _ 关节角和连杆转角的区别 机器人学：DH参数总结（传统DH方法和改进DH方法）

坐标系建立规则( 非标准 D-HDenavit-Hartenberg 方法 )

• 根据题目信息确定式 R(revolute joint) 还是 P(prismatic joint) 固定在关节轴 i 上的坐标系命名为坐标系 \(\{i\}\)（轴 i 的方向由设计者给定）
• 先确定 \(Z\) 轴，坐标系 \(\{i\}\) 的 Z 轴与关节轴 i 的轴线重合
• 再确定原点，坐标系 \(\{i\}\) 的原点为公共垂线 ai 与关节轴 i 轴线的交点
• 再确定 \(X\) 轴，\(\{i\}\) 的 X 轴与公共垂线 ai 重合
• 最后确立 \(Y\) 轴，根据右手定则确定坐标系 \(\{i\}\) 的 Y 轴 ( 大拇指指向 \(Z\), 右手螺旋确定 )

运动学参量 ¶

• 连杆扭转角 \(\alpha_{i-1}\)：绕 \(X_{i-1}\) 轴，从 \(Z_{i-1}\) 轴旋转到 Zi 轴的角度
• 连杆长度 \(a_{i-1}\)：沿 \(X_{i-1}\) 轴，从 \(Z_{i-1}\) 轴移动到 Zi 轴的距离（公垂线段为 0 的时候，当 \(a_{i-1} = 0\) 时，我们并不将零长度的 \(r_{O_{i-1}P_i}\) 视为传统的零向量，而是在与轴 \(i-1\) 和轴 \(i\) 同时垂直的方向中选一个作为 \(r_{O_{i-1}P_i}\) 的正方向）
• 关节角 \(\theta_i\)：沿 \(Z_{i-1}\) 轴，从 \(X_{i-1}\) 轴旋转到 \(X_i\) 轴的角度
• 连杆轴距 \(d_i\)：沿 \(Z_{i-1}\) 轴，从 \(X_{i-1}\) 轴移动到 \(X_i\) 轴的距离

连体坐标系变换 ¶

\(^{i-1}_i \!T\) 表示坐标系 \(\{i-1\}\) 到坐标系 \(\{i\}\) 的变换矩阵，i 从 1 开始

1. 调整 \(Z\) 轴，绕 \(X\) 旋转——坐标系 \(\{i-1\}\) 绕 \(X_{i-1}\) 轴旋转连杆扭转角 \(\alpha_{i-1}\) 到达坐标系 \(\{R\}\)
2. 沿着 \(X\) 轴平移——坐标系 \(\{R\}\) 沿着 \(X_R\) 轴移动连杆长度 \(a_{i-1}\) 到达坐标系 \(\{Q\}\)
3. 调整 \(X\) 轴 , 绕 \(Z\) 旋转——坐标系 \(\{Q\}\) 绕 \(Z_Q\) 轴旋转关节角 \(\theta_i\) 到达坐标系 \(\{P\}\)（因为坐标系的方向是根据公垂线段定义的，所以由于下一个关节的方向不一致，所以原来的坐标系转过来的时候，需要向公垂线段的方向旋转一下）
4. 沿着 \(Z\) 轴平移——坐标系 \(\{P\}\) 沿着 \(Z_P\) 轴移动连杆轴距 \(d_i\) 到达坐标系 \(\{i\}\)

题型 ¶

列写运动学参量表 ¶

注意坐标系轴要建立正确

求末端位置与姿态 ¶

方法 1: 几何法转换为三角函数问题（仅适用于平面问题 , 即 \(\alpha_i\) 为 0 的时候，比较方便）

方法 2: 矩阵法（适用于任意维度）

其中，向量 \(\vec{P}\) 代表了机器人末端相对于机器人基座的位置，矩阵 \(R\) 代表了机器人末端相对于机器人基座的姿态（如果要求解角度的话，相当于旋转矩阵转换为欧拉角）