05 ｜ 平稳过程 ¶

严平稳过程 ¶

{ \(X(t);t\in T\) } 中所有 \(X_t\) 同分布， 且 \(\forall\;n\geq2\quad(X_{t_1},X_{t_2},\dots,X_{t_n},)\) 的分布仅与时间差 \(t_i-t_{i-1}\) 有关，而与起始时间 \(t_1\) 无关。

宽平稳过程 ¶

存在二阶矩的严平稳过程。平稳过程均指宽平稳过程。

均值函数 ¶

\(\mu_X(t)=E[X(t)]=E[X(0)]\overset{记为}\Longrightarrow\mu_X\;(常数)\)

方差函数 ¶

\(D[X(t)]=R_X(0)-\mu_X^2\;(常数)\)

自相关函数 ¶

\(E[X(t)X(t+\tau)]=E[X(0)X(\tau)]=R_X(\tau)\;(为时间差的函数)\)

\(E[X^2(t)]=R_X(0)\;(常数)\)

\(E[X_{t_1}X_{t_2}]=R_X(t_2-t_1)\)

自协方差函数 ¶

\(C_X(\tau)=R_X(\tau)-\mu_X^2\)

平稳相关 ¶

若 { \(X(t);t\in T\) }、{ \(Y(t);t\in T\) } 是两个平稳过程，\(X(t),Y(t)\) 的互相关函数也为时间差 \(\tau\) 的函数 \(\overset{记为}\Longrightarrow R_{XY}(\tau)\)

称 \(X(t),Y(t)\) 是平稳相关 / 联合（宽）平稳的。

① \(R_X(0)=E[X^2(t)]=\psi_X^2\geq0\)

② \(R_X(-\tau)=R_X(\tau)\quad(偶函数)\qquad R_{XY}(-\tau)=R_{YX}(\tau)\quad(非奇非偶)\)

③ \(\mid R_X(\tau)\mid\leq R_X(0)\qquad\qquad\quad\mid C_X(\tau)\mid\leq C_X(0)=\sigma_X^2\)

$\mid R_{XY}(\tau)\mid^2\leq R_X(0)R_Y(0)\quad\mid C_{XY}(\tau)\mid^2\leq C_X(0)C_Y(0),$

​ 相关 / 协方差函数在时间差 \(\tau\) 为 0 时取得最大值。

④ \(R_X(\tau)\) 是非负定的，即 \(\forall\;t_1,t_2,\dots,t_n\in T\) 和 \(\forall\;a_1,a_2,\dots,a_n\in R\) ，有 \(\sum_{i,j=1}^n R_X(t_i-t_j)a_ia_j\geq0\)

⑤ { \(X(t);t\in T\) } 是周期为 \(T_0\) 的平稳过程 \(\Leftrightarrow\) \(R_X(t)\) 是周期为 \(T_0\) 的函数。

各态历经性 ¶

时间均值 ¶

\(<X(t)>=\underset{T\rightarrow+\infty}\lim\frac 1{2T}\int_{-T}^TX(t)dt\)

\(<X_n>=\underset{N\rightarrow+\infty}\lim \frac 1N\sum_{n=1}^NX_n\)

时间相关函数 ¶

\(<X(t)X(t+\tau)>=\underset{T\rightarrow+\infty}\lim\frac 1{2T}\int_{-T}^TX(t)X(t+\tau)dt\)

\(<X_nX_{n+m}>=\underset{N\rightarrow+\infty}\lim \frac 1N\sum_{n=1}^NX_nX_{n+m}\)

各态历经性 ¶

均值具有各态历经性：\(P(<X(t)>=\mu_X)=1\) / \(P(<X_n>=\mu_X)=1\) （即时间均值恒等于均值函数）

自相关函数具有各态历经性：\(\forall\;\tau\quad P(<X(t)X(t+\tau)>=R_X(\tau))=1\) （即时间相关函数恒等于自相关函数）

各态历经过程：均值和自相关函数都具有各态历经性。

均值各态历经定理 ¶

在 \(\underset{\tau\rightarrow+\infty}\lim R_X(\tau)\) 存在的条件下，若 \(\underset{\tau\rightarrow+\infty}\lim R_X(\tau)=\mu_X^2\) ，则均值具有各态历经性，反之不具有。

平稳过程的功率谱密度 ¶

谱密度 ¶

\(S_X(\omega)\) 是 \(\omega\) 的非负实偶函数，与自相关函数 \(R_X(\tau)\) 是一对 \(Fourier\) 变换对。

\(S_X(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}R_X(\tau)e^{-i\omega\tau}d\tau\)

\(R_X(\tau)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S_X(\omega)e^{i\omega\tau}d\omega\)

统称维纳 - 辛钦公式。

因为 \(S_X\;R_X\) 都是实偶函数，所以 \(R_X\overset{F}\longleftrightarrow S_X\quad S_X\overset{F}\longleftrightarrow 2\pi R_X\)

常用 \(Fourier\) 变换对 ¶

① \(e^{-a\mid\tau\mid}\overset{F}\longleftrightarrow\frac{2a}{a^2+\omega^2}\)

② \(\begin{cases}1-\frac{\mid\tau\mid}{T}\quad\mid\tau\mid\leq T\\[2ex]0\quad\mid\tau\mid>T\end{cases}\overset{F}\longleftrightarrow(\frac{sin(\omega T/2)}{\omega T/2})^2\)

③ \(\frac{sin\omega_0\tau}{\pi\tau}\overset{F}\longleftrightarrow\begin{cases}1\quad\mid\omega\mid\leq\omega_0\\[2ex]0\quad\mid\omega\mid>\omega_0\end{cases}\)

④ \(1\overset{F}\longleftrightarrow2\pi\delta(\omega)\)

⑤ \(\delta(\tau)\overset{F}\longleftrightarrow1\)

⑥ \(cos\omega_0\tau\overset{F}\longleftrightarrow\pi[\delta(\omega+\omega_0)+\delta(\omega-\omega_0)]\)

⑦ \(R_X(\tau)cos\omega_0\tau\overset{F}\longleftrightarrow\frac12[S_X(\omega+\omega_0)+S_X(\omega-\omega_0)]\)

例题 ¶

设 { \(X(t);-\infty<t<\infty\) } 是宽平稳过程，\(X(t)=Acos(t+2\pi B)\) ，\(A,B\) 独立且服从 \((0,1)\) 上的均匀分布，

\(E[A]=\frac12\quad D[A]=\frac1{12}\quad E[A^2]=E^2[A]+D[A]=\frac 13\)

则

（1）均值函数 \(\mu_X=E[Acos(2\pi B)]=0\)

（2）自相关函数 \(R_X(\tau)=E[X(0)X(\tau)]=E[A^2]·E[cos(2\pi B)·cos(\tau+2\pi B)]=\frac{cos\tau}{6}\)

（3）谱密度 \(S_X(\omega)=\frac\pi6[(\omega+1)+(\omega-1)]\)

（4）时间均值 \(<X(t)>=\underset{T\rightarrow+\infty}\lim\frac 1{2T}\int_{-T}^TX(t)dt=\underset{T\rightarrow+\infty}\lim\frac{AsinTcos(2\pi B)}T\equiv\mu_X\) ，具有各态历经性。

（5）时间相关函数 \(<X(t)X(t+\tau)>=\underset{T\rightarrow+\infty}\lim\frac 1{2T}\int_{-T}^TX(t)X(t+\tau)dt=\frac{A^2cos\tau}2\neq R_X(\tau)\) ，不具有各态历经性。

（6）综合（4）（5），\(X(t)\) 不是各态历经过程。

解题方式 ¶

① 证明是宽平稳过程，只需证 \(E[X(t)]\) 为常数且 \(R_X\) 为只和 \(\tau\) 有关的函数。

② 证明是各态历经过程，只需证 \(<X(t)>\equiv\mu_X\) 且 \(<X(t)X(t+\tau)>\equiv R_X(\tau)\)

③ 在 \(\underset{\tau\rightarrow+\infty}\lim R_X(\tau)\) 存在的条件下，证明均值具有各态历经性，也可转而证 \(\underset{\tau\rightarrow+\infty}\lim R_X(\tau)=\mu_X^2\)