03 ｜泊松过程 ¶

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独立增量过程 ¶

\(\forall\;n\geq2\) 且 \(n\in Z\) 与 \(t_0<t_1<\dots<t_n\) ，增量 \(X(t_1)-X(t_0),X(t_2)-X(t_1),\dots,X(t_n)-X(t_{n-1})\) 相互独立。

若 \(\forall\;0\leq s<t\) ，增量 \(X(t)-X(s)\) 的分布只依赖于 \(t-s\) ，则为平稳独立增量过程。

齐次泊松过程 ¶

定义 \(N(t)\) 表示 \((0,t\,]\) 内发生的 " 事件 " 数。

若计数过程 { \(N(t);t\leq0\) } 是强度为 \(\lambda\) 的齐次泊松过程，则

① \(N(0)=0\)

② { \(N(t);t\leq0\) } 为独立增量过程

③ 对于 \(\forall\;0\leq s<t\) ，有 \(P(N(t)-N(s)=k)=\frac {[\lambda(t-s)]^k·e^{-\lambda(t-s)}}{k!},\quad k=0,1,2,\dots,\)

④ 对于 \(\forall\;t>s\quad n\leq m\quad P(N_s=m\mid N_t=n)=C_n^m(\frac st)^m·(1-\frac st)^{n-m}\)

\(P(N_t=n\mid N_s=m)=P(N(t)-N(s)=n-m)\)

均值函数 ¶

\(\mu_N(t)=E[N(t)]=\lambda t\)

方差函数 ¶

\(D_N(t)=D[N(t)]=\lambda t\)

自相关函数 ¶

\(R_N(t_1,t_2)=E[N(t_1)·N(t_2)]=\lambda min(t_1,t_2)\)

自协方差函数 ¶

\(C_N(t_1,t_2)=Cov[N(t_1),N(t_2)]=\lambda min(t_1,t_2)+\lambda^2t_1t_2\)

泊松过程的合成 ¶

若 { \(X(t);t\leq0\) } 与 { \(Y(t);t\leq0\) } 是相互独立的分别具有强度 \(\lambda_1\) 和 \(\lambda_2\) 的泊松过程，

则 { \(N(t)=X(t)+Y(t);t\leq0\) } 是强度为 \(\lambda_1+\lambda_2\) 的泊松过程。

泊松过程的分解 ¶

若计数过程 { \(N(t);t\leq0\) } 是强度为 \(\lambda\) 的泊松过程，且对于事件 \(N\) ，其中类型 \(X\) 发生的概率为 \(p\) ，类型 \(Y\) 发生的概率为 \(1-p\) ，则 { \(X(t);t\leq0\) } 与 { \(Y(t);t\leq0\) } 是相互独立的分别具有强度 \(\lambda p\) 和 \(\lambda (1-p)\) 的泊松过程。

与泊松分布相关的若干分布 ¶

① \(W_n\) 是第 \(n\) 个事件发生的时刻。

\(F_{W_n}(t)=P(W_n\leq t)=P(N(t)\geq n)=1-\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(\lambda t)^k e^{-\lambda t}}{k!}\)

\(f_{W_n(t)}=\frac{\lambda(\lambda t)^{n-1}}{(n-1)!}\)

② \(T_i=W_i-W_{i-1}\) 为第 \(i\) 个事件和第 \(i-1\) 个事件发生的时间间隔，则 \(\forall\;i\quad T_i\) 均服从均值为 \(\frac1\lambda\) 的指数分布。

\(F_{T_i}(t)=P(T_i\leq t)=1-P(T_i>t)=1-P(N(t)<1)=1-P(N(t)=0)=1-e^{-\lambda t}\)

③ 若已知 \((0,t\,]\) 内恰好有一事件发生，则此事件的发生时刻在 \((0,t\,]\) 内均匀分布。

\(P(T_1\leq s\mid N(t)=1)=\frac st\qquad 0<s\leq t\)

非齐次泊松过程 ¶

\(\lambda\) 不再为常数，而是 \(t\) 的函数。

若计数过程 { \(N(t);t\leq0\) } 是强度为 \(\lambda(t)\) 的非齐次泊松过程，则