01 | 基本概念 ¶

基本定义 ¶

随机过程 ¶

{ \(X(t);t\in T\) } 在 \(T\) 中取任一 \(t\) 的随机变量集合。

样本函数 ¶

\(X(t)\) ，为 \(t\) 的函数。（所有随机变量取到可能出现的值）

状态 ¶

给定 \(t_0\) ，\(X(t_0)\) 的与随机变量相关的值。

状态空间 ¶

所有状态取值构成的集合。

数字特征 ¶

均值函数 ¶

\(\mu_X(t)=E[X(t)]\)

方差函数 ¶

\(\sigma_X^2(t)=D_X(t)=D[X(t)]=E[X^2(t)]-E^2[X(t)]\)

相关函数 ¶

自相关函数 ¶

\(R_X(t_1,t_2)=E[X(t_1)·X(t_2)]\)

自协方差函数 ¶

\(C_X(t_1,t_2)=Cov[X(t_1),X(t_2)]=E[X(t_1)·X(t_2)]-E[X(t_1)]·E[X(t_2)]\)

互相关函数 ¶

\(R_{XY}(t_1,t_2)=E[X(t_1)·Y(t_2)]\)

\(R_{YX}(t_1,t_2)=E[Y(t_1)·X(t_2)]\)

互协方差函数 ¶

\(C_{XY}(t_1,t_2)=Cov[X(t_1),Y(t_2)]=E[X(t_1)·Y(t_2)]-E[X(t_1)]·E[Y(t_2)]\)

\(C_{YX}(t_1,t_2)=Cov[Y(t_1),X(t_2)]=E[Y(t_1)·X(t_2)]-E[Y(t_1)]·E[X(t_2)]\)

例题 ¶

设随机过程 \(X(t)=At+B\) ，其中 \(A\)、\(B\) 独立同分布，\(P(A=1)=0.6\) ，\(P(A=-1)=0.4\) 。

(1) \(X(t)\) 的所有样本函数为 \(X(t)=t+1\) ；\(X(t)=-t+1\) ；\(X(t)=t-1\) ；\(X(t)=-t-1\)

(2) \(X(1)=A+B\) 的分布律为 \(P[X(1)=0]=0.48\) ； \(P[X(1)=2]=0.36\) ；\(P[X(1)=-2]=0.16\)

(3) { \(X(t);t∈T\) } 的均值函数为 \(E[X(t)]=tE(A)+E(B)=0.2t+0.2\)

(4) 自相关函数为 \(R_X(t_1,t_2)=E[X(t_1)X(t_2)]=E[(At_1+B)(At_2+B)]=t_1t_2E(A^2)+(t_1+t_2)E(AB)+E(B^2)=t_1t_2+0.04(t_1+t_2)+1\)

（∵ \(E(A)=0.2\) \(D(A)=0.96\) \(E(A^2)=E(B^2)=D(A)+E^2(A)=0.96+0.2^2=1\) ）