06 | 特征分析 ¶

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为什么要研究特征分析？

给系统一个很好的表征

找到复杂信号的简单表达

线性空间 ¶

我们可以采集到很多信号，可以用均值、协方差来表征

但是，信号可能是耦合关联的，这说明有冗余信息

我们希望建立一个向量组，元素和元素之间是无关的，协方差矩阵是对角矩阵

线性映射（Linear Mapping）是指满足齐次性（Homogeneity）和叠加性（Additivity）的映射。

T (c_{1} u + c_{2} v) = c_{1} T (u) + c_{2} T (v)

其中， $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 是任意标量， $u$ 和 $v$ 是任意向量。

举例：投影矩阵

正交投影矩阵

平面，向 y 轴投影

ω = T ([\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}])

T = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

对于方阵 $A$ ，满足以下方程的 $λ$ 称为特征值

第一定义

A v = λ v

第二定义

d e t (A - λ I) = 0

特征值和正定性

性质

d e t (A) = \prod_{i = 1}^{n} λ_{i}

t r (A) = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i}

所有特征值的集合矩阵的谱 spectrum

λ (A) = {λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}}

ρ (A) = max_{i = 1, 2, \dots, n} | λ_{i} | = | (λ (A)) |_{L_{\infty}}

特征值的模

A ν = λ ν

A^{2} ν = A (A ν) = A (λ ν) = λ (A ν) = λ^{2} ν

A^{k} ν = λ^{k} ν

e^{A} = I + A + \frac{A^{2}}{2!} + \dots + \frac{A^{k}}{k!} + \dots

[e^{A}] ν = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{A^{k}}{k!} ν = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{λ^{k}}{k!} ν = e^{λ} ν

P_{n} A^{n} + P_{n - 1} A^{n - 1} + \dots + P_{1} A + P_{0} I = 0

同乘 $A^{- 1}$

P_{n} A^{n - 1} + P_{n - 1} A^{n - 2} + \dots + P_{1} I + P_{0} A^{- 1} = 0

A^{- 1} = - \frac{1}{P_{0}} (P_{n} A^{n - 1} + P_{n - 1} A^{n - 2} + \dots + P_{1} I)