04 | 矩阵分解 ¶
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LU decomposition¶
相似对角化 ¶
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相似对角化太难算，哈 - 凯定理怒斩 A 的 n 次方
求解方法
求特征值： - 计算矩阵 \(A\) 的特征值 \(\lambda_i\) ，这些特征值将构成对角矩阵 \(\Lambda\) 的对角线元素。
求特征向量： - 对于每个特征值 \(\lambda_i\)，求解特征向量 \(v_i\)，这些特征向量将构成矩阵 \(P\) 的列。
构造对角矩阵和特征向量矩阵： - 对角矩阵 \(\Lambda\)：
\[
\Lambda = \begin{bmatrix}
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_n
\end{bmatrix}
\]
- 特征向量矩阵 \(P\)：
\[
P = \begin{bmatrix}
| & | & & | \\
v_1 & v_2 & \cdots & v_n \\
| & | & & |
\end{bmatrix}
\]
验证对角化： - 验证 \(A = P \Lambda P^{-1}\) 是否成立。
Eigen Value Decomposition | 特征分解 ¶
特征值分解是一种特殊的奇异值分解
\[
\begin{cases}
Au_1 = \lambda_1 u_1 \\
Au_2 = \lambda_2 u_2 \\
\vdots \\
Au_n = \lambda_n u_n
\end{cases}
\]
写成矩阵形式
\[
A \begin{bmatrix}
u_1 & u_2 & \cdots & u_n
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\lambda_1 u_1 & \lambda_2 u_2 & \cdots & \lambda_n u_n
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
u_1 & u_2 & \cdots & u_n
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_n
\end{bmatrix}
\]
使用特征向量矩阵 \(U\) 表示
\[
A U= U \Lambda
\]
\[
A = U \Lambda U^{-1}
\]
SVD | 奇异值分解 ¶
变换 = 旋转和伸缩组合
那么如果想把一个变换表示成为旋转和伸缩的组合，考虑先旋转到坐标轴，再做伸缩，最后再旋转回来，这就是奇异值分解
1. 奇异值为非负数 2.奇异值主对角线由小到大排列 3.奇异值是特征值开方
奇异值分解